Revisão enem matemática grandezas proporcionais, escala, unidades de medida, razão e proporção e regra de três.
Matemática básica
Esse é o assunto que sem sombra de dúvida mais cai no enem.
Então acompanhe esse vídeo e saia sabendo pelo menos 15 questões garantidas!
Primeiramente vamos entender o que são:
Grandezas direta e inversamente proporcionais
É uma característica que liga um objeto ao outro fazendo ele crescer na mesma intensidade ou decrescer em uma intensidade específica. Bom como sempre a matemática é mais explicativa com exemplos.
São exemplos bem simples, é mais para entender mesmo pois tem várias cascas de bananas no enem a cerca disso.
Ex: 3 livros são 18 reais, quantos reais são 5 livros?
Já está com a resposta na ponta da língua não é mesmo. Mas eu quero que você classifique em direta ou inversamente proporcional.
Isso mesmo diretamente, pois na medida que você compra mais livros você gasta mais, você pode ate ganhar um desconto por comprar muito, mas de qualquer forma vai gastar mais. Além disso não viaje muito na questão, na sua vivência sobre o tema..., se atenha ao enunciado.
Ex: Uma pessoa demora 2h para pintar a parede, se fosse 2 pessoas pintando juntas quanto tempo demorariam na mesma parede?
E na assertiva teria 4 horas é claro, o enem é diferenciado ele já pensa quanto daria a resposta pensando da maneira errada e coloca lá pra você, o nome disso é distrator.
Então para não errar essa temos que classificar como inversamente proporcional, pois pense estou sozinho pintando uma parede e aí chamo um colega para me ajudar, certamente terminaremos mais rápido do que se eu tivesse sozinho. Logo eu aumentei um objeto e a consequência foi diminuir o outro objeto (tempo).
Portanto, são inversamente proporcionais.
E agora prof. como resolvo?
Você vai ter que inverter uma fração.
1 pessoa ---- 2 horas
2 pessoas ---- x horas
1/2 = 2/x Nesse ponto você inverte uma fração a sua escolha
1/2= x/2
Corta, corta
x=1
Já o caso de ser diretamente proporcional resolve normal, com você aprendeu no fundamental!
3 livros ----- 18 reais
5 livros ----- x reais
3x= 90
x=30
No enem eles nunca perguntam sem contexto, minto em 2012 teve uma, porém bem rara. Nessa aí que eu inventei no mínimo eles perguntariam, quanto a mais ele gastou comprando 5 livros no lugar de 3. Você faria a subtração 30 - 18 = 12
Para saber Quanto ele gastou a mais!
Esse já é um conceito que cai em questões médias e difíceis. Mas tranquilo você vai tirar de letra.
É uma forma de criar uma equação, sim você mesmo cria a equação e pode colocar seu nome nela, então no fim é divertido.
Produto
Quando duas ou mais grandezas são inversamente proporcionais dizemos que o produto é constante
Seja (P) de pessoa e (H) de hora .
P.H = constante= k
E essa constante aí que chamamos de k quanto vale?
Basta substituir P e H para descobrir!
Vamos ao enunciado 1 pessoa e 2 horas 1.2= 2
Nossa constante vale 2
Por que se chama constante?
Porque não muda nunca, observe!
2 pessoas e 1 hora que foi nossa resposta 2.1= 2
Então lembre relação inversa é produto, pois um complementa o outro.
Divisão/ quociente/ razão
Quando duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais dizemos que a divisão é constante. Tem lógica, afinal se um aumenta e o outro aumenta a única forma de isso dar constante é se estiver dividindo, pois se estivesse multiplicando ia dar um valor cada vez maior!
Então do nosso exemplo L são livros e D é dinheiro.
L/D= constante = k
Se quiser pode testar como fiz anteriormente.
Podemos reescrever como uma função ou equação.
No produto temos
P.H = k
Portanto, P=k/H
Na divisão temos
L/D= k
Portanto, L= k.D Aqui tem uma lógica visual, pois como são diretamente proporcionais, à medida que um cresce à direita da equação, o outro cresce à esquerda da equação.
Temos 2 exemplos, um que eu criei só para aquecer e um do enem mesmo então peço que pause e tente fazer.
Pronto, nessa questão, ele quer uma função que representa o número de vendas. Eu não vou ler a questão, quero acostumar vocês a apenas procurar o comando da questão e depois ir catando as informações úteis. Nesse noso caso queremos saber relações que são direta ou inversamente proporcionais, para resolvemos na forma que ensinei a pouco.
Vamos usar o α (alfa) para dizer que duas coisas são proporcionais.
V α Q² vendas é diretamente proporcional ao quadrado da qualidade
V α 1/P vendas é inversamente proporcional ao preço
V α C vendas é diretamente proporcional a confiança
então trocamos o alfa por uma constante k e efetuamos a multiplicação de todo o resto, quem ta ao quadrado continua, quem ta embaixo continua...
V=k.Q².C/P
Essa é nossa função, pode colocar seu nome nela se quiser!
Agora que você já entendeu bem e já fez um exemplo faça essa questão do enem 2016. Ele quer saber também quanto vale a constante, mas é como eu disse encontre a função e depois substitua os valores para descobrir a constante!
Pause agora...
Pronto
O que ele quer?
O custo C.
Quais são nossa relações? Catei no texto como se cata feijão e achei:
C α V custo diretamente proporcional ao volume
Mas o volume é a área vezes a espessura V= A.E
logo C α A
e C α E
então multiplicamos tudo e trocamos alfa por k:
C=k.A.E
Mas quem é a espessura em valores?
Não temos mas sabemos do texto que:
E α 1/D² espessura é inversamente proporcional ao quadrado da distância
Trocamos alfa por uma constante ,seila eu, c
E= c/D²
Substituindo em C temos C=k.A.c/D²
Mas não precisa achar duas constantes pois o produto de uma constante é outra constante basta chamar k.c de v
Portanto C=v.A/D²
A única nessa forma é a letra B, o enem deu uma facilitada aí mas vamos encontrar o valor dessa constante.
Bastar substituir todos os valores do enunciado.
Custo de 500 = v. 9 de área/ 3² só cuide para a área estar em metros² e a distância em metros.
cortando ficamos com v= 500
então nossa função é C=500.A/D²
Letra B como já tínhamos falado.
Razão e proporção
Razão é nada mais que a divisão de dois números. A por B, ou a Para B, ou razão de A em B... tudo significa A/B. Mas isso nos dar um bom significado prático, falou em prático enem adora muito.
Ex: O carro A anda 50km e gasta 5 litros de gasolina e o Carro B anda 40km e gasta 2 litros de gasolina. Qual o carro mais eficiente?
Basta efetuar a divisão 50/5 = 10km/l e 40/2=20km/l Logo o mais eficiente é o carro B que a cada 20km gasta um litro.
No enem eles adoram isso e sempre colocam duas tabelas, na qual você vai dividindo uma pela outra para obter a resposta!
Já proporção tem mais a vê com partes que temos do todo.
Por ex: Para cada caixa de lápis de cor temos um lápis vermelho.
Pause e faça esse exemplo simples:
Pronto. Ou você usa regra de três ou vai simplificando a fração até ficar dividido por 1000. Pois vamos ficar com 50 médicos sobre 25000 habitantes.
Simplificando por 25 temos 2 médicos sobre 1000 habitantes.
Nossa proporção é de 2:1000 e aí eles vão contextualizar e perguntar de acordo com a OMS isso se classifica em ótimo e tal. Bom eu respondi uma questão que era algo parecido só não vou lembrar agora.
Então agora faça essa questão novinha de 2019, eu peguei a mais recente pois todo ano eles cobram mesmo então peguei a primeira que achei.
Pause aí.
Pronto
O que ele quer?
Ele quer saber qual município receberá investimento extra.
Bom aí já temos uma pergunta contextualizada vejamos os critérios no texto para receber o extra.
O município com a maior taxa de urbanização receberá o extra. Então essa é outra dica, quando a pergunta não esta no enunciado (que é a parte final separada do texto) então ela vai estar no final do texto.
Urbanização é o que? população urbana sobre a rural.
Quanto maior o valor do numerador em relação ao denominador mais urbanizado não é?
Então efetuemos a divisão de um gráfico pelo outro.
8000/4000
10000/8000
11000/5000
18000/10000
Aprenda a ganhar tempo o primeiro é fácil a conta da 2 pois é o dobro.
Então os outros tem que ser no mínimo o dobro. 10000/8000 isso não da o dobro, teria que ser pelo menos 16000/8000. 11000 sobre 5000 da mais que o dobro da 2,2 então agora ela é nossa provável resposta. 18000 sobre 10000 é fácil fazer mas nem precisava fazer pois é menos que o dobro, da 1,8. O outro nem precisa fazer também tá muito fraco muito menos que o dobro.
Portanto, nossa resposta é o que deu 2,2 o município 3 com 11000 de população urbana contra apenas 5000 de população rural.
Município 3 letra C.
Escalas
É um subtópico de razão e proporção que cai bastante.
Escala é a razão entre o tamanho do desenho (d) sobre o tamanho real (R)
*obs: Os valores devem estar na mesma unidade de medida centímetros com centímetros, ou metros com metros. Enfim tem que bater.
Ex: Você mede 3 centímetros na distância de sua cidade para Brasília em um mapa do Brasil. Mas a escala é 1:10.000.000
então sua cidade está a 30.000.000 de centímetros de distância, fazendo a conversão da 300 km de distância.
Existe três tipos de questões com escala, e o pessoal erra pois só sabe a primeira que é a linear. Então para falar de cada um eu apresento as unidades de medida e aí já temos 2 assuntos em um só.
Unidade de medida linear
No meio temos o padrão metro e cada casa a direita aumentamos um 0, ou seja, multiplicamos por 10. Já a esquerda dividimos por 10.
Ex: 3 metros é igual a 300 centímetros. Pois fica 3x10x10=300cm
Já 300 centímetros é 3 metros pois fica 300/10x10 = 300/100 = 3m
É muito usado para medir distâncias, comprimentos, alturas.
Eu tenho uma forma decorada de lembrar em vez de fazer o desenho toda hora. Eu sempre tomo como base o metro e aí pra decímetro multiplico por 10, dez de dezcímetro.
Metro pra centímetro multiplico por 100, cem de centímetro.
Metro pra milímetro multiplico por 1000, mil de milímetro.
Tem uma que já é pra questões de naturezas que é metro pra nanômetro eu multiplico por 10 elevado a 9. 9 de nono, nono de nonometro. Autoral essa em copia não.
Aí na hora da prova você fica na dúvida se divide ou não, é só pensar bom metro ta na esquerda do centímetro. Quem é maior 1 metro ou 1 centímetro, e aí você lembra da sua altura e tal ou de algo do cotidiano e tem a certeza de que 1 metro é maior, se é maior então multiplica. 1 metro é 100 centímetros!
Vamos a uma questão do enem 2018 pause aí.
Pronto
O que ele quer? A medida real em kilometros do traço. Sendo que temos apenas a medida em desenho e a escala.
Na verdade já temos tudo que precisamos.
A escala é 1:58.000.000 ,ou seja, 1 centímetro sobre 58 milhões de centímetros.
Isso quer dizer que para cada centímetro no desenho são 58 milhões de centímetros no mundo real.
Então da pra usar uma regra de três como sempre, da pra usar até em humanas regra de três!
1 ----- 58milhões
7,6 ----- x
x= 58mi. 7,6 = 440,8 milhões de centímetros
Nunca fique carregando um monte de 0 pra lá e pra cá pois uma hora você pode derrubar um sem querer e isso aconteceu comigo então não recomendo. Eu abreviei 58.000.000 para 58mi é a mesma coisa! Nossa resposta deu 440,8 milhões de centímetros um número bem difícil de se pensar, por isso a questão pediu para converter para quilômetros.
Para quem gosta de decorar é só dividir o valor em centímetros por cem mil, essa foi uma dica da minha professora de geografia. Por que decorar algo tão específico? Pois em questões que envolvem cartografia, ou seja, mapas sempre o mapa está em centímetros e a escala em valores que chegam a quilômetros.
Enfim, você vai cortar cinco zeros do 440,8 milhões de centímetros.
Que é igual a dividir por cem mil. Ou você passa pra metros e depois passa pra kilômetros, fica a gosto do cliente.
De qualquer forma, chegaremos ao valor de 4408km. Que é a letra A.
Agora, perceba como o enem é ardiloso colocou o valor de 44080 e 440800 todos só diferem o número de zeros, pois ele sabia que você ia acertar a escala, mas que podia errar na conversão então ele já bota todos os valores possíveis de respostas quase certas para você cair na pegadinha.
Mas eu sempre observo se minha resposta é razoável, eu sei decorado que o Brasil tem uns 8000km de altura, então 4408km como resposta é um valor meio grande, mas se você observar é o menor nas alternativas. Já 44080km eu não marcaria nem se o meu desse isso, meu amigo marcou, então eu avisei a ele que 44080km é maior que o comprimento da terra. Como ele marca algo que é maior que a terra inteira?
Enfim, vamos continuar depois dessa resenha...
Vou apresentar logo todas as unidades de medida.
Temos Unidade de medida de área
Muito usada para medir a área que uma casa ocupa, ou a área do parque, área de uma parede...
A ideia é a mesma só tem que lembrar do ao quadrado.
Se eu quero algo de m² para cm² lembra que na linear era só multiplicar por 100, aqui também é só que (100)² 100 ao quadrado. 100 ao quadrado é quanto mesmo?
É 100x100 que eu multiplico 1x1 e mantenho os zeros...
10000 dez mil!
Mas não decore como 10000 basta lembrar apenas que é 100²
Se for m² pra mm² é 1000... (1000)² nem me pergunte quanto é 1000 ao quadrado.
Se for pra esquerda é só indo dividindo por 10 normalmente, porém cada passo será dividido por 10² que é 100. Então m² pra km² é só dividir por (1000)²
Minha dica é quando você for fazer multiplicações no enem que envolva essa conversão, tente converter para a unidade que a questão quer antes de fazer as multiplicações, fica mais fácil, tem uma questão assim você vai ver.
Unidade de medida de volume
Se eu tenho uma piscina de 2 metros cúbicos, quanto teu tenho em centímetros cúbicos. É a mesma coisa multiplique por 100, porém será (100)³ que dá 1 milhão.
Então cada passo a direita multiplica por 10³ que é 1000 e cada passo a esquerda divide por 10³ que é 1000.
Obs: É muito utilizado na vida e no enem principalmente o Litro (L) o litro é igual ao decímetro cúbico. Então você pode decorar assim, ou o mais usual que é 1000 litros ser igual a 1 metro cúbico.
Já para converter Litros em centilitros ou mililitros você vai usar a escala linear, que coisa não?
Vamos resolver uma questão de cada unidade.
Enem 2013 pause aí
Pronto, O que ele quer?
O número de vezes que foi ampliada a área do mapa do Brasil, para poder visualizar o Rio de Janeiro. Veja que ele falou em área, mas nossa escala está linear, então temos que colocar ao quadrado nossa escala. Pois é como se considerassemos a área de um quadrado.
Mas queremos a ampliação, a ampliação é a razão entre Brazil e Rio, olhe aí questão de razão e proporção tudo junto e misturado.
Então faremos a divisão entre a área do Br e a do RJ.
Que é (25mi)²/(4mi)². Eu como sou sabidinho e sei que a ordem nesse caso não importa então posso efetuar a divisão antes da potência, logo corto o milhão encima e embaixo. Fico com 25²/4² que é 625/16 que da 39 e pouquinho. Mas não precisamos saber exatamente pois olhe as assertivas...
Resposta letra E entre 30 e 40.
Agora imagina você não lembra de colocar ao quadrado, ficaríamos com 25/4 que daria 6,125 e marcaríamos erroneamente letra A.
Como expliquei duas coisas de vez, vamos a duas questões de vez.
Enem 2014, pause aí e tente.
O que ele quer?
O volume real do armário em centímetros cúbicos. Dessa vez foi bem direto.
As dimensões do projeto são 3cm, 1cm, e 2cm. A escala está 1:100 ou seja, 1 centímetro é na verdade 100 centímetros.
Então minha dica é passar primeiro pro real e depois efetuar a multiplicação.
Logo nosso armário tem dimensões reais de 300cm, 100cm e 200cm.
Para calcularmos o volume desse armário em forma de caixa basta multiplicarmos tudo. Ficamos com 300x100x200= como eu disse multiplica os números e repete os zeros 3x1x2= 6 e agora coloca os seis zeros 6.000.000cm³
Resposta letra E
digamos agora que você primeiro multiplicou para depois usar a escala.
Ficaria 6cm³ no desenho. Tem gente que ia parar aqui e o enem sabe disso por isso letra A é 6cm³. Mas você sabe que tem que usar escala, porém não sabe como aí usa 100 apenas. 6x100= 600cm³ o enem sabe disso e coloca lá letra E.
Mas nossa escala diz que 1 centímetro de desenho é 100cm reais. Então 1cm³ de desenho é (100cm)³ de realidade = 1.000.000cm³
Logo nossos 6cm³ de desenho são 6.000.000cm³ na realidade. Letra E pelo caminho mais difícil também, mas estando certo é o que importa.
Vamos ao nosso próximo tema. Só falta esse juro, já avisei que se é pra estudar 2 semanas o negócio tem que ser intensivo, e mais esse vídeo não vai dar nem 30 minutos que não chega a ser um episódio da sua série favorita então jogue uma água na cara e continue.
Chegamos a regra de três apesar de eu falar dela o vídeo todo, a danada serve pra literalmente qualquer questão até em humanas da certo. Não acredita? Questões de cartografia com mapas em geografia só colocar uma regra de três pesada aí que resolve.
Bom, não vai ter questão direta igual ao começo dessa aula, você vai ter que analisar muita tabela, gráfico, informação textual, imagem... vão ter questões com escalas, conversão de unidades, volumes e tudo que tiver direito.
Regra de três temos duas.
A simples que compõe 95% do total
E composta que cai mais em concurso mas vez ou outra assombra nosso enem.
Porém tenho um macete pra fazer em 10 segundos regra de três composta.
Vamos a uma questão com a simples e depois ensino o macete em uma questão do enem com composta.
Pause aí,
Pronto.
O que ele quer?
A máxima distância que pode percorrer sem ficar sem gasolina.
No final do texto ele da pontos onde da pra reabastecer, então vamos encontrar qual o ponto mais distante para reabastecer.
A eficiência do carro é 15km/L olha aí razão e proporção novamente.
Cabe 50 Litros no tanque, com 50L da pra quantos quilômetros? Enfim a regra de três simples.
15Km ---- 1L
x km ---- 50 L x= 750Litros
Mas não temos o tanque cheio, pois nosso medidor da figura está em 3/4 que é 75% logo é só fazer 75% de 750 = 562,5Km.
Então quer dizer que o carro faz um total de 562,5km o que é muito perto de 570 mas a questão pede o máximo até que precise reabastecer. Logo seria em 500 afinal ninguém planeja arrastar o carro por 7,5 km na pista no asfalto quente né é ilógico.
Portanto nossa resposta é letra E.
Vamos a regra de três composta
são duas ou mais características proporcionais no lugar de uma só que é a simples.
Basta você isolar a fração que contém o x em um lado da equação e analisar as demais frações, se são diretamente ou inversamente proporcionais em relação a que foi isolada.
Vamos a um exemplo do enem já logo pois não quero me estender aqui.
Enem 2015, o enem mais difícil que já fiz foi esse.
Tanto que caiu regra de três composta,
O que ele quer?
A nova jornada de trabalho dos funcionários. Então chamamos de x horas.
Vamos procurar no texto outras características,
36 funcionários trabalhando 6 horas cada, produzia 5400 camisetas por dia.
Com 96 funcionários e x horas trabalhadas, produzirá 21600 camisetas por dia.
Bom agora é só botar em forma de fração para analisarmos
36/96 = 6/x = 5400/21600
Agora pegue a fração que tem x e deixe isolado
6/x =
Pense 6 é o número de horas e x é x horas, agora compare com os outros para saber se os outros são diretamente ou inversamente proporcionais as horas.
Se eu aumentar os funcionários eu diminuo as horas trabalhadas ou aumento? diminuo né, lembre dos pintores da parede no começo do vídeo.
Então é inversamente proporcional, logo eu tenho que inverter essa fração lá na nossa equação.
Já se eu aumentar a produção eu aumento o número de horas necessárias para produzir, então é diretamente proporcional nesse caso, logo eu mantenho a fração intacta no outro lado da equação.
ficamos com 6/x = 96/36. 5400/ 21600
x= 9 horas. Não tem dica aqui não, simplifiquei o máximo mas mesmo assim ainda é muita calculeira mas fazendo com atenção chega ao valor de
9 horas letra C.
Mas aí a pergunta, isso tem lógica? Bom a produção aumentou muito, apesar de ter mais funcionários é muito aumento na produção, ia ter que aumentar a jornada de trabalho fazer o quê.
Por fim uma questão de regra de três com conversão de sistema de unidade
Enem 2019,
pause aí e tente,
pronto.
Ele já foi direto um pé em polegada equivale a quanto?
Lembro de fazer uma questão contextualizada envolvendo uma roda gigante, o enem já foi mais divertido.
Bom aqui você pode fazer várias regras de três ou aplicar um macete que não é bem um macete é análise dimensional, mas como esse nome assusta... chamemos de macete do lulu.
1Pé 3 pés são uma jarda
Uma jarda é 0,9411 metros
1 metro é 100 centímetros
2,54 centímetros é 1 polegada.
Sempre coloque a unidade que você quer converter invertido pois assim você corta a unidade e passa para a próxima unidade. Se você colocasse na mesma direção estaria colocando ao quadrado e não é isso que queremos.
imagem
Então efetuando essa multiplicação toda obtemos que 1 pé são 12 polegadas.
Isso tem lógica? Bom meu celular tem umas 6 polegadas e meu pé é maior que ele então 1 pé é maior que a polegada logo tem lógica isso aí.
Logo nossa resposta é letra D.
Bom ficamos aqui por hoje nessa revisão, mas ainda teremos outros vídeos com os restantes dos assuntos da lista? Não viu a lista mágica dos assuntos mais cobrados? Vou deixar o link aqui. No mais se inscreva e deixe o sininho ligado para eu poder te lembrar de novos vídeos com mais assuntos, vamos buscar esses 900 no enem galera? Então deixe um like e pode comentar também se for da sua vontade. Valeu.
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